Abitur Differentialgleichungen 2

Question 1

Löse die Differentialgleichung y' = 2x durch Integration. Welche allgemeine Lösung ergibt sich?

Accepted Answer

y = x² + C

Answer

Integration von 2x nach x ergibt ∫2x dx = x² + C, also y = x² + C.

Question 2

Welche DGL lässt sich NICHT durch Trennung der Variablen lösen?

Accepted Answer

y' = x + y

Answer

y' = x + y kann nicht als Produkt f(x)·g(y) geschrieben werden, weshalb direkte Trennung der Variablen nicht möglich ist.

Question 3

Löse das Anfangswertproblem y' = y mit y(0) = 3. Welche Funktion ist die Lösung?

Accepted Answer

y = 3e^x

Answer

Die allgemeine Lösung von y' = y ist y = Ce^x; aus der Anfangsbedingung y(0) = 3 folgt C = 3, also y = 3e^x.

Question 4

Welche Funktion ist eine Lösung der DGL y' + y = 0?

Accepted Answer

y = Ce^(−x)

Answer

Einsetzen von y = Ce^(−x) ergibt y' + y = −Ce^(−x) + Ce^(−x) = 0, was die Gleichung erfüllt.

Question 5

Welches Ergebnis liefert die Trennung der Variablen für dy/dx = y/x?

Accepted Answer

y = K · x (mit K = e^C)

Answer

Trennung ergibt dy/y = dx/x, Integration liefert ln|y| = ln|x| + C, also y = e^C · x = K · x.

Abitur Mathematik