Abitur Differentialgleichungen 1 — Questions and Answers
Question 1: Was ist eine gewöhnliche Differentialgleichung (DGL)?
- Eine Gleichung mit mehreren Variablen ohne Ableitungen
- Eine lineare Gleichung in mehreren Unbekannten
- Eine Gleichung, die eine unbekannte Funktion und mindestens eine ihrer Ableitungen enthält (Correct answer)
- Eine Gleichung, die nur Integrale enthält
Correct answer: Eine Gleichung, die eine unbekannte Funktion und mindestens eine ihrer Ableitungen enthält
Eine gewöhnliche DGL enthält eine unbekannte Funktion und mindestens eine ihrer Ableitungen nach einer einzigen Variablen.
Question 2: Welche Ordnung hat die Differentialgleichung y'' + 3y' − 2y = 0?
- 1. Ordnung
- 3. Ordnung
- 0. Ordnung
- 2. Ordnung (Correct answer)
Correct answer: 2. Ordnung
Die Ordnung einer DGL entspricht der höchsten vorkommenden Ableitung; hier ist y'' (zweite Ableitung) die höchste, also 2. Ordnung.
Question 3: Wie viele freie Integrationskonstanten enthält die allgemeine Lösung einer DGL 1. Ordnung?
- Keine
- Zwei
- Drei
- Eine (Correct answer)
Correct answer: Eine
Die Anzahl der freien Konstanten in der allgemeinen Lösung entspricht der Ordnung der DGL; bei einer DGL 1. Ordnung ist es genau eine Konstante C.
Question 4: Welche Differentialgleichung beschreibt exponentielles Wachstum?
- y' = k + y
- y' = k · y mit k > 0 (Correct answer)
- y'' = k · y
- y' = k / y
Correct answer: y' = k · y mit k > 0
Bei exponentiellem Wachstum ist die Wachstumsrate proportional zur aktuellen Größe, was durch y' = k·y mit k > 0 beschrieben wird.
Question 5: Was versteht man unter einer partikulären Lösung einer DGL?
- Eine Näherungslösung der DGL
- Die allgemeine Lösung ohne Integrationskonstanten
- Eine spezifische Lösung, bei der die freie Konstante durch einen Anfangswert bestimmt wurde (Correct answer)
- Eine Lösung, die nur für bestimmte Variablen gilt
Correct answer: Eine spezifische Lösung, bei der die freie Konstante durch einen Anfangswert bestimmt wurde
Eine partikuläre Lösung entsteht aus der allgemeinen Lösung, indem die Integrationskonstante mithilfe einer Anfangsbedingung eindeutig festgelegt wird.
Question 6: Welche Lösungsmethode eignet sich für eine DGL der Form y' = f(x) · g(y)?
- Euler-Verfahren
- Charakteristisches Polynom
- Variation der Konstanten
- Trennung der Variablen (Correct answer)
Correct answer: Trennung der Variablen
Lässt sich die rechte Seite als Produkt f(x)·g(y) darstellen, kann man durch Trennung der Variablen alle y-Terme auf eine Seite und alle x-Terme auf die andere bringen.
Question 7: Was beschreibt die Differentialgleichung y' = −0,1 · y?
- Lineares Wachstum
- Exponentiellen Zerfall (Correct answer)
- Quadratisches Wachstum
- Logistisches Wachstum
Correct answer: Exponentiellen Zerfall
Der negative Koeffizient −0,1 bewirkt, dass y mit der Zeit abnimmt, was exponentiellen Zerfall darstellt.
Abitur Differentialgleichungen 1
Was ist eine gewöhnliche Differentialgleichung (DGL)?