Abitur Differentialgleichungen 2 — Questions and Answers
Question 1: Löse die Differentialgleichung y' = 2x durch Integration. Welche allgemeine Lösung ergibt sich?
- y = 2x² + C
- y = x² + 2C
- y = x² + C (Correct answer)
- y = 2 + C
Correct answer: y = x² + C
Integration von 2x nach x ergibt ∫2x dx = x² + C, also y = x² + C.
Question 2: Welche DGL lässt sich NICHT durch Trennung der Variablen lösen?
- y' = x · y
- y' = y / x
- y' = x + y (Correct answer)
- y' = e^x · y
Correct answer: y' = x + y
y' = x + y kann nicht als Produkt f(x)·g(y) geschrieben werden, weshalb direkte Trennung der Variablen nicht möglich ist.
Question 3: Löse das Anfangswertproblem y' = y mit y(0) = 3. Welche Funktion ist die Lösung?
- y = e^x + 3
- y = 3e^x (Correct answer)
- y = 3x · e^x
- y = e^(3x)
Correct answer: y = 3e^x
Die allgemeine Lösung von y' = y ist y = Ce^x; aus der Anfangsbedingung y(0) = 3 folgt C = 3, also y = 3e^x.
Question 4: Welche Funktion ist eine Lösung der DGL y' + y = 0?
- y = Ce^x
- y = C · cos(x)
- y = C / x
- y = Ce^(−x) (Correct answer)
Correct answer: y = Ce^(−x)
Einsetzen von y = Ce^(−x) ergibt y' + y = −Ce^(−x) + Ce^(−x) = 0, was die Gleichung erfüllt.
Question 5: Welches Ergebnis liefert die Trennung der Variablen für dy/dx = y/x?
- y = ln(x) + C
- y = K · x (mit K = e^C) (Correct answer)
- y² = x² + C
- y = C · sin(x)
Correct answer: y = K · x (mit K = e^C)
Trennung ergibt dy/y = dx/x, Integration liefert ln|y| = ln|x| + C, also y = e^C · x = K · x.
Question 6: Löse das Anfangswertproblem y' = 2y mit y(0) = 5. Welche Funktion ist die Lösung?
- y = 2e^(5x)
- y = e^(2x) + 4
- y = 5x² + 5
- y = 5e^(2x) (Correct answer)
Correct answer: y = 5e^(2x)
Die allgemeine Lösung von y' = 2y ist y = Ce^(2x); mit y(0) = 5 folgt C = 5, also y = 5e^(2x).
Question 7: Was sichert der Satz von Picard-Lindelöf für Anfangswertprobleme?
- Jedes Anfangswertproblem besitzt unendlich viele Lösungen
- Unter Stetigkeits- und Lipschitz-Bedingungen existiert genau eine Lösung (Correct answer)
- Jede DGL besitzt eine geschlossene analytische Lösung
- Lineare DGLs haben stets zwei linear unabhängige Lösungen
Correct answer: Unter Stetigkeits- und Lipschitz-Bedingungen existiert genau eine Lösung
Der Satz von Picard-Lindelöf garantiert unter gewissen Regularitätsbedingungen Existenz und Eindeutigkeit der Lösung eines Anfangswertproblems.
Abitur Differentialgleichungen 2
Löse die Differentialgleichung y' = 2x durch Integration.
Welche allgemeine Lösung ergibt sich?