BAC Mathématiques (Spécialité) 4

Question 1

Quelle est l'équation de la tangente à la courbe y = f(x) au point d'abscisse a ?

Accepted Answer

y = f(a) + f'(a)(x - a)

Answer

L'équation de la tangente au point (a, f(a)) est y = f(a) + f'(a)(x - a). C'est l'approximation affine de f au voisinage de a.

Question 2

Quelle propriété caractérise une fonction convexe sur un intervalle ?

Accepted Answer

Sa dérivée seconde est positive (ou la courbe est au-dessus de ses tangentes)

Answer

Une fonction est convexe si f''(x) ≥ 0 sur l'intervalle, ce qui signifie que la courbe est située au-dessus de toutes ses tangentes et que la dérivée est croissante.

Question 3

Quelle est la formule d'intégration par parties ?

Accepted Answer

∫u'v dx = uv - ∫uv' dx

Answer

L'intégration par parties donne : ∫u'v dx = [uv] - ∫uv' dx. Elle permet de calculer des intégrales de produits en transférant la dérivation d'un facteur à l'autre.

Question 4

Que représente géométriquement le produit scalaire de deux vecteurs u⃗ et v⃗ ?

Accepted Answer

||u⃗|| × ||v⃗|| × cos(θ) où θ est l'angle entre les vecteurs

Answer

Le produit scalaire u⃗·v⃗ = ||u⃗|| × ||v⃗|| × cos(θ) mesure la projection d'un vecteur sur l'autre. Il est nul si les vecteurs sont orthogonaux.

Question 5

Soit f(x) = x·e^(-x). En quel point f atteint-elle son maximum sur [0, +∞[ ?

Accepted Answer

x = 1

Answer

f'(x) = e^(-x) - x·e^(-x) = e^(-x)(1-x). f'(x) = 0 quand x = 1. f'(x) > 0 pour x < 1 et f'(x) < 0 pour x > 1, donc f(1) = 1/e est le maximum.

Baccalauréat - Test de Pratique

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