BAC Mathématiques (Spécialité) 4 — Questions and Answers
Question 1: Quelle est l'équation de la tangente à la courbe y = f(x) au point d'abscisse a ?
- y = f(a) + f'(a)
- y = f(a) + f'(a)(x - a) (Correct answer)
- y = f'(a)x + a
- y = f(a)x + f'(a)
Correct answer: y = f(a) + f'(a)(x - a)
L'équation de la tangente au point (a, f(a)) est y = f(a) + f'(a)(x - a). C'est l'approximation affine de f au voisinage de a.
Question 2: Quelle propriété caractérise une fonction convexe sur un intervalle ?
- Sa dérivée est toujours négative
- Sa dérivée seconde est positive (ou la courbe est au-dessus de ses tangentes) (Correct answer)
- Elle est toujours décroissante
- Elle admet un maximum
Correct answer: Sa dérivée seconde est positive (ou la courbe est au-dessus de ses tangentes)
Une fonction est convexe si f''(x) ≥ 0 sur l'intervalle, ce qui signifie que la courbe est située au-dessus de toutes ses tangentes et que la dérivée est croissante.
Question 3: Quelle est la formule d'intégration par parties ?
- ∫u·v dx = uv
- ∫u'v dx = uv - ∫uv' dx (Correct answer)
- ∫u'v dx = u'v' - ∫uv dx
- ∫uv dx = u + v + C
Correct answer: ∫u'v dx = uv - ∫uv' dx
L'intégration par parties donne : ∫u'v dx = [uv] - ∫uv' dx. Elle permet de calculer des intégrales de produits en transférant la dérivation d'un facteur à l'autre.
Question 4: Que représente géométriquement le produit scalaire de deux vecteurs u⃗ et v⃗ ?
- L'aire du parallélogramme
- ||u⃗|| × ||v⃗|| × cos(θ) où θ est l'angle entre les vecteurs (Correct answer)
- La somme des vecteurs
- Le vecteur perpendiculaire
Correct answer: ||u⃗|| × ||v⃗|| × cos(θ) où θ est l'angle entre les vecteurs
Le produit scalaire u⃗·v⃗ = ||u⃗|| × ||v⃗|| × cos(θ) mesure la projection d'un vecteur sur l'autre. Il est nul si les vecteurs sont orthogonaux.
Question 5: Soit f(x) = x·e^(-x). En quel point f atteint-elle son maximum sur [0, +∞[ ?
- x = 0
- x = 1 (Correct answer)
- x = e
- x = 2
Correct answer: x = 1
f'(x) = e^(-x) - x·e^(-x) = e^(-x)(1-x). f'(x) = 0 quand x = 1. f'(x) > 0 pour x < 1 et f'(x) < 0 pour x > 1, donc f(1) = 1/e est le maximum.
Question 6: Quelle est la somme des n premiers entiers naturels non nuls ?
- n²
- n(n+1)/2 (Correct answer)
- 2n+1
- n!
Correct answer: n(n+1)/2
La somme 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2. Cette formule, attribuée à Gauss enfant, correspond à la somme d'une suite arithmétique de raison 1.
BAC Mathématiques (Spécialité) 4
Quelle est l'équation de la tangente à la courbe y = f(x) au point d'abscisse a ?