Abitur Lineare Algebra und Matrizen 2 — Questions and Answers
Question 1: Was ist das Skalarprodukt der Vektoren u = (2, 3) und v = (1, -1)?
- -1 (Correct answer)
- 1
- 5
- -5
Correct answer: -1
u·v = 2·1 + 3·(−1) = 2 − 3 = −1.
Question 2: Wann sind zwei Vektoren orthogonal?
- Ihr Kreuzprodukt ist null
- Ihr Skalarprodukt ist null (Correct answer)
- Sie haben dieselbe Länge
- Sie sind linear abhängig
Correct answer: Ihr Skalarprodukt ist null
Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt gleich null ist.
Question 3: Was ist die Lösungsmenge des homogenen Gleichungssystems Ax = 0, wenn A regulär ist?
- Unendlich viele Lösungen
- Keine Lösung
- Genau die Nulllösung x = 0 (Correct answer)
- Genau zwei Lösungen
Correct answer: Genau die Nulllösung x = 0
Bei regulärem A gilt A⁻¹·0 = 0, daher ist x = 0 die einzige Lösung.
Question 4: Welche Eigenschaft charakterisiert eine orthogonale Matrix Q?
- Q·Qᵀ = 0
- Q·Qᵀ = I (Einheitsmatrix) (Correct answer)
- det(Q) = 0
- Q ist nicht invertierbar
Correct answer: Q·Qᵀ = I (Einheitsmatrix)
Eine orthogonale Matrix erfüllt Q·Qᵀ = I, d.h. ihre Transponierte ist ihre Inverse.
Question 5: Was ist der Eigenwert λ der Matrix A = [[3,0],[0,5]] zum Eigenvektor (1, 0)ᵀ?
- 5
- 3 (Correct answer)
- 8
- 0
Correct answer: 3
A·(1,0)ᵀ = (3,0)ᵀ = 3·(1,0)ᵀ, also ist λ = 3.
Question 6: Was beschreibt eine lineare Abbildung f?
- Eine Abbildung, die nur Geraden auf Punkte abbildet
- Eine Abbildung mit f(u+v) = f(u)+f(v) und f(λu) = λf(u) (Correct answer)
- Eine Abbildung mit f(0) = 1
- Eine stets nicht-invertierbare Transformation
Correct answer: Eine Abbildung mit f(u+v) = f(u)+f(v) und f(λu) = λf(u)
Eine lineare Abbildung erfüllt das Superpositionsprinzip: Additivität und Homogenität.
Abitur Lineare Algebra und Matrizen 2
Was ist das Skalarprodukt der Vektoren u = (2, 3) und v = (1, -1)?